章八 (第2/4页)

度八七五为实，以赤道小股五十六度零二八一为法除之，得一度零八分六十五秒，为赤道半弧弦。置黄赤道小股五十六度零一九二，(又为赤道小句。)以赤道大弦(半径)六十零度八七五乘之，得三千四百一十零度一六八八为实，以赤道小弦为法除之，得六十零度八十六分五十三秒，为赤道横大句。置半径六十零度八十七分五十秒，内减赤道大句六十零度八十六分五十三秒，余九十七秒，为赤道横弧矢。置赤道横弧矢九十七秒自之，得九十四微零九，以全径为法除之，得七十纤，为赤道背弦差。置赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，为赤道积度，今差在微已下不加，即用半弧弦为积度。

    凡求得赤道积度一度零八分六十五秒。余度各如上法，求到各黄道度下赤道积，两数相减，即得黄赤道差，乃至后之率。其分后，以赤道度求黄道，反此求之，其数并同。

    ▲黄赤道相求弧矢诸率立成上

    (表格略)

    ▲黄赤道相求弧矢诸率立成下

    (表格略)

    按郭敬创法五端，内一曰黄道差，此其根率也。旧法以一百一度相减乘。《授时》立术，以句股、弧矢、方圆、斜直所容，求其数差，合于浑象之理，视古为密。顾《至元历经》所载略，又误以黄道矢度为积差，黄道矢差为率，今正之。

    ▲割圆弧矢图

    凡浑圆中剖，则成平圆。任割平圆之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦，有矢。剖弧矢形而半之，则有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢句股形，以半弧弦为句，矢减半径之余为股，半径为弦。句股内成小句股，则有小句、小股、小弦、而大小可互求，平侧可互用，浑圆之理，斯为密近。

    平者为赤道，斜者为黄道。因二至黄道赤之距，生大句股。因各度黄赤之距，生小句股。

    外大圆为赤道。从北极平视，则黄道在赤道内，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大名股。又各有其相当之黄道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

    按旧史无图，然表亦图之属也。今句股割弧矢之法，实为历家测算之本。非图不明，因存其要者数端。

    ▲黄赤道内外度

    推黄道各度，距赤道内外及去极远近术。置半径内减去赤道小弦，余为赤道二弦差。(又为黄赤道小弧矢，又为内外矢，又为股弦差。)置半径内外减去黄道矢度，余为黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦乘之为实，以黄赤道大弦为法，(即半径。)除之为黄赤道小弧弦。(即黄赤道内外半弧弦，又为黄赤道小句。)置黄赤道小弧矢自之，(即赤道二弦差。)以全径除之，为半背弦差。以差加黄赤道小弧弦为黄赤道小弧半背，即黄赤道内外度。置黄赤道内外度，视在盈初缩末限以加，在缩初盈天限以减，皆加减象限度，即各得太阳去北极度分。

    如冬至后四十四度，求太阳去赤道内外及去极度。术曰：“置半径六十零度八十七分半，内减黄道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，余二度五十一分八十一秒，为黄赤道小弧矢。(即内外矢。)置半径六十零度八七五，内减黄道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，余四十四三十零分六十八秒，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以二至黄赤道内外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千零五十零度五十一分四二三八为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法除之，得一十七度二十五分十九秒为黄赤道小弧弦。(即内外半弧弦。)置黄赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之为实，以全径地百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒为背弦差，以差加黄赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十零分八十九秒，为二至前后四十四度，太阳去赤道内外度。置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以内外度一十七度三零八九加之，得一百零八度六十二分三十二秒七五，为冬至后四十四度太阳去北极度。

    ▲黄道每度去赤道内外及去北极立成

    (表格略)

    ▲白道交周

    推白赤道正交，距黄赤道正交北极数。术曰：“置实测白道出入黄道内外六度为半径弧弦，又为大图弧矢，又为股弦差。置半径六十零度七五自之，得三千七百零五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分为股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分为大圆径。依法求得容阔五度七十分，又为小句。又以二至出入半弧弦二十三度七十一分为大句。以大句为法，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分(就整)为度差。以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，为容半长。置半径六十零度八七五为大弦，以乘小句五度七十分为实，以大句二十三度七十一分为法除之，得一十四度六十三分为小弦，又为白赤道正交，距黄赤道正交半弧弦。　依法求行半弧背一十四度六十六分，为白赤道正交距黄赤道正交极娄数。

    译文

    制定历法的人各有自己的渊源，史书应该详尽采录，使后世有参考的依据。

    如《太初历》起源于音律，《大衍历》发端于蓍卜，都详细见于本历志。

    《授时历》以测量检骏推算焉宗旨，祇求与天相合，不牵强附会音律、卦爻。

    然而它立法的依据.数据的出处，以及日晷影长、行星度数，都有完整的书籍。

    郭守堃、查履谦的传中，有书名可考。

    《元史》全没有采录，现仅存奎盏的《议录》、《历经》的初稿。

    后来改变三应率及数据表的数据，和割圆弧矢的方法、平立定三差的来源，都删去没有记载。

    使作者的精辟见解湮汝无闻，有见识的人都为此感到道憾。

    现在根据《大统历通轨》及《历草》等书，稍加编排，首先是历法原理，其次是数据表，再其次是推算。

    而历法原理的细目有七项，是勾股测望，弧矢割圆，黄赤道差，黄赤道内外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。

    在北京立四丈高的标尺，冬至日正午，测得影长七丈九尺八寸五分。

    随即用简仪测得太阳南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。

    求得矢度为五度九十一分半。

    将周天半径，减去矢度，剩余五十四度九十六分为股，就是本地离头顶上太阳的度数。

    用以弦股求勾的方法，求得勾为二十六度十七分六十六秒，就是太阳出地的半弧弦。

    在北京立四丈高的标尺，夏至日正午，测得影长一丈一尺七寸一分。

    随即用简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。

    求得矢度为四十三度七十四分